1 STATIK

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ebene Fachwerke

1.6 Freimachen von Körper

Unter „freimachen“ versteht man das Loslösen eines Körpers oder mehrer Körper aus einem Gesamtsystem. Das heißt man löst den Körper aus den Lagern oder aus der Verbindung zu anderen Körpern. Als Ersatz für die inneren Kräfte bzw. Momente bringt man äußere Kräfte bzw. Momente an den Trennstellen an. Dabei ist die Richtung der Reaktionskräfte unerheblich. Die Rechnung bzw. die grafische Lösung liefert die tatsächliche Orientierung (in der Rechnung durch ein negatives Vorzeichen).

An den Lagern bzw. verbleibenden Körper wirken die gleich großen Kräfte bzw. Momente aber in entgegengesetzter Richtung (actio=reactio).

Nun können die Gleichgewichtsbedingungen für die Teilsysteme angesetzt werden und die unbekannten Kräfte und Momente berechnet werden sofern der Körper statisch bestimmt ist.

Das Freimachen ist ein wichtiger Schritt beim Lösen von Beispielen in der Statik (und auch später in der Dynamik). Es ist unumgänglich diese Technik gut zu beherrschen. Die Rechnung baut darauf auf. Werden hier Fehler gemacht stimmt das Ergebnis nicht mehr!

1.6.1 Beispiel 1: Sprungbett im Schwimmbad

Gegeben ist ein Sprungbrett von dem gerader ein Schwimmer mit der Kraft F wegspringt.

Gesucht sind die Kräfte in den Lagerstellen A und B.

Freimachen des Sprungbretts

Bevor man mit dem Freimachen beginnt empfehle ich zuerst das Koordinatensystem festzulegen. Dazu gehört auch die Richtungsfestlegung für positive Momente.

Nun kann der Balken „freigeschnitten“ werden (entfernen der Lagerstellen und Anbringung der Reaktionskräfte). Diese wurden hier in positiver Richtung angesetz.

Wie bereits erwähnt ist es nicht erforderlich die tatsächliche Wirkrichtung der Kräfte schon im Vorhinein zu wissen. Im Zweifel empfehle ich die Kräfte und Momente immer in positiver Richtung anzusetzen. Allerdings ist wichtig, dass Prinzip actio=reactio strikt zu beachten. Ist die Richtung einmal festgelegt müssen die Reaktionskräfte am „weggeschnittenen Körper“ natürlich entgegengesetzt wirken!

Aus dem freigemachten Sprungbrett erkennt man, dass man drei unbekannte Kräfte hat (FA, FBx und FBy. Für den starren Körper in der Ebene gibt es drei Gleichgewichtsbedingungen. Daraus folgt, das unser Sprungbrett statisch bestimmt ist.

Wäre das Lager A auch ein Festlager wie B hätten wir auch eine x-Komponente am Lager A und damit vier Unbekannte. Das System wäre statisch überbestimmt und mit den oben beschriebenen Methoden nicht lösbar.

Rechnerische Lösung

Summe aller Kräfte in x-Richtung
Summe aller Kräfte in y-Richtung
Summe aller Momente um Punkt B
aus Gleichung 1 folgt:
aus Gleichung 3 folgt:
aus Gleichung 2 folgt:
Wie man erkennen kann hat FBy und FBx ein negatives Vorzeichen. Das bedeutet, dass die Kraft entgegen der beim Freimachen gewählten Richtung wirkt.

Grafische Lösung

Nimmt man die resultierende Kraft im Lager B, so hat man insgesamt drei Kräfte. Ein Körper mit drei Kräfte ist dann im Gleichgewicht, wenn sich die Wirkungslinien der Kräfte in einem Punkt schneiden (P) und das Krafteck geschlossen ist.
Das Krafteck ergibt sich in dem man die Kraft F mit ihrer tatsächlichen Lage maßstäblich zeichnet. Nun fügt man die bekannten Richtungen die man aus der maßstäblichen Zeichnung erhält (mit dem gemeinsamen Schnittpunkt P) in den Kräfteplan ein. Die sich ergebenden Kräfte FA und FB sind nun auch von der Größe bestimmt. Nun kann man noch FB in die x- und y-Komponenten aufteilen.
Hinweis:
Beim Kräfteplan werden alle Kräfte der Reihe nach angeordnet. Das heißt nach jeder Spitze einer Kraft folgt der Schaft einer anderen Kraft. Es ergibt sich ein „Pfeilzug“.
Beim Aufteilen einer Kraft in ihre Komponenten liegen immer der Schaft der Resultierenden mit dem Schaft einer Komponente zusammen. Ebenso mit den Pfeilspitzen.

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letzte Bearbeitung: 29.01.2006